Равновесие Нэша: свидание и модель Курно

Важность для курса: средняя — «Битва полов» и идея стратегических дополнений и заменителей полезны для мультиплеера и игровой экономики, но половина лекции ушла на алгебру.

Суть простыми словами

Двое хотят пойти в кино вместе, но каждый мечтает о своём фильме, и кому-то придётся уступить. Два продавца одинакового товара хотят продать побольше и потому вместе зарабатывают меньше, чем могли бы. Уговор «давай делать поменьше» не держится: каждому выгодно тайком его нарушить.

Что было на лекции

• Итоги «Инвестиций»: в игре координации работают разговор и лидерство. Пример провала координации: хаос после урагана «Катрина».
• Новый термин: «Инвестиции» и «Партнёрство» были играми стратегических дополнений.
• «Поход в кино». Пара забыла договориться о фильме: «Ультиматум Борна» (экшен без сюжета), «Ложное искушение» (сюжет без экшена) или «Белоснежка». Ей ближе «Борн», ему «Искушение». Разминуться плохо обоим, а хуже всего вместе смотреть «Белоснежку». Полная таблица чисел в стенограмме не сохранилась. Студент заметил, что «Белоснежка» доминируема для обоих, и её вычеркнули.
• Нина (за «Борна») и Давид (за «Искушение») незнакомы. Молча оба написали «Борн». Потом Давид «позвонил»: лучше «Борн» вместе, чем совсем без свидания. Нина ответила: иду на «Борна». Снова оба выбрали «Борна».
• Равновесий два: оба на «Борне» или оба на «Искушении». Но каждый хочет своё, и переговоры могут сорваться. Пример: переговоры General Motors с профсоюзом о пенсиях и медицине в тот же день. Забастовка хуже для всех, но интересы расходятся. Эта игра называется «Битва полов».
• Дуополия Курно. Две фирмы делают одинаковую бутилированную воду и выбирают количество. Каждая бутылка обходится в c. Цена падает с ростом выпуска: P = a − b(q1+q2).
• Лучший ответ через производную: q1 = (a−c)/(2b) − q2/2. Если соперник ничего не делает, ты монополист. Если он заливает рынок до конкурентного объёма (a−c)/b, тебе лучше не производить. В равновесии каждая фирма делает (a−c)/(3b). Французский экономист Курно обнаружил это задолго до Нэша.
• Линии лучших ответов здесь наклонены вниз: это стратегические заменители.
• Общая прибыль в равновесии не максимальна: больше фирмы заработали бы, деля пополам монопольный объём. Но такой сговор незаконен и неустойчив. Сценка: Патрик (Пепси) тайно делает больше уговорённого. Стивен (Кока-Кола) это предвидит и тоже делает больше. Патрик отвечает, и оба оказываются почти в равновесии Курно. Полак оговаривается, что так бывает не во всех играх.
• Ещё беды картелей: договор нечем принудить, а прибыль приманивает новых продавцов. Так было с соглашениями в США около 1900 года, с авиалиниями и с ОПЕК. Против ОПЕК нефть начали добывать Британия, Латинская Америка, Россия.
• Итог: суммарный выпуск Курно больше монопольного, но меньше конкурентного. Цены и прибыли тоже посередине.

Главные понятия

• Место для лидерства (scope for leadership) — в игре координации один уверенный голос собирает всех в одно равновесие.
• Стратегические дополнения (strategic complements) — чем больше делает соперник, тем больше хочется делать тебе.
• Стратегические заменители (strategic substitutes) — чем больше делает соперник, тем меньше хочется делать тебе.
• Битва полов (Battle of the Sexes) — всем важно совпасть, но каждый хочет совпасть на своём варианте.
• Дуополия Курно (Cournot duopoly) — две фирмы одновременно выбирают, сколько произвести.
• Сговор (collusion) — уговор ограничить выпуск ради общей прибыли.

Зерно для создателя игр

• Дополнения или заменители? Спроси о каждой механике: если другие делают это больше, мне выгоднее делать это больше или меньше? Дополнения дают лавины и «все или никто». Заменители сами себя уравновешивают: ресурс, который добывают все, дешевеет, и часть игроков уходит к другому.
• Битва полов в команде. Отряд хочет держаться вместе, но каждый тянет к своей цели. Выручает механика «первого слова»: метка лидера, голосование с таймером. В опыте Полака уверенное «я иду туда» сразу решило спор.
• Уговоры игроков хрупки. Продавцы одного товара выпускают слишком много, и цена падает ниже выгодной им всем. Союз «добываем понемногу» нарушают, а в прибыльную нишу лезут новички. Нужна стабильность? Закладывай её в правила. Нужна драма? Дай способы проверки и наказания.
• Простой ИИ-конкурент. ИИ, который каждый ход отвечает лучшим ответом на прошлый ход игрока, приходит здесь к равновесию Курно. Он предсказуем и честен.

Мини-игра для урока

Разминка (2 минуты): «Поход в кино» в парах, сначала молча, потом с одной фразой «по телефону».

«Лимонадный рынок» (2 игрока или 2 команды, 8 минут). Каждый тайно пишет, сколько стаканов сделать: от 0 до 12. Стакан обходится в 1 монету. Цена стакана: 13 минус общее число стаканов, но не ниже нуля. Прибыль: (цена − 1) × свои стаканы. Два раунда молча. Потом можно договориться, но уговор ни к чему не обязывает. Ещё три раунда. Ученик пусть заметит: при 4 и 4 у каждого 16 монет, и сдвигаться невыгодно. При уговоре 3 и 3 у каждого 18, но нарушитель с 4 или 5 стаканами получает 20. Поэтому уговоры рушатся.

Ошибки и заблуждения

• «Если обоим выгодно встретиться, договориться легко». Когда каждый хочет встречи на своих условиях, переговоры срываются, как при забастовках.
• «Каждый максимизирует свою прибыль, значит, и общая максимальна». В равновесии Курно общая прибыль меньше, чем при сговоре.
• «Стратегические заменители означают, что товары заменяют друг друга». Нет: речь о том, как твой лучший ход зависит от хода соперника.

Для продвинутых

• Модель придумал A. Cournot (1838).
• В равновесии каждая фирма делает (a−c)/(3b), цена (a+2c)/3, прибыль каждой (a−c)²/(9b). При сговоре на монопольный объём каждая получила бы (a−c)²/(8b).
• При n одинаковых фирмах каждая делает (a−c)/((n+1)b). С ростом n выпуск приближается к конкурентному.
• Термины «стратегические дополнения и заменители»: Bulow, Geanakoplos, Klemperer (1985).
• «Битву полов» описали Luce и Raiffa в книге «Games and Decisions» (1957). У неё есть и смешанное равновесие.
• Как сговор держится в повторяющихся играх, курс разбирает в лекциях 21–22.