Равновесие Нэша: покупки, выдвижение и голосование на прямой

Важность для курса: средняя — модель «линейного города» даёт карту для расстановки персонажей и товаров, а игра «кандидат-избиратель» показывает, как лишний участник играет на руку сопернику.

Суть простыми словами

Если два ларька продают одинаковый лимонад, каждый сбивает цену соседа, пока оба не станут торговать почти без прибыли. Если же ларьки стоят в разных концах улицы, каждому покупателю ближе свой, и цены так не падают. На выборах похоже: если победить ты не можешь, то, выдвинувшись, поможешь победить тому, кто тебе меньше нравится.

Что было на лекции

• Модель Бертрана. Рынок тот же, что у Курно: две фирмы, одинаковый товар (Кока-Кола и Пепси), издержки c на штуку. Но теперь фирмы выбирают цену. Кто дешевле, забирает весь рынок, при равных ценах его делят пополам.
• Производные не работают: выигрыш меняется скачком. Лучшие ответы такие. Соперник выше себестоимости: подрежь его чуть-чуть, но не ниже c. Соперник ниже себестоимости: поставь цену выше и уйди с рынка. Соперник выше монопольной цены: ставь монопольную.
• Единственное равновесие: обе цены равны c. Пара «c и c + 3ε» не равновесие: первой фирме выгодно поднять цену до c + 2ε.
• Вывод: две фирмы, а цена равна издержкам, как при совершенной конкуренции. Полак сомневается, что мы в это верим. Тревожно и то, что смена выбора с количества на цену дала совсем другой ответ.
• Многие студенты отличают Кока-Колу от Пепси на вкус: товары не одинаковые. Отсюда «линейный город» (задача на дом). Прямая улица длиной в милю, покупатели живут равномерно. Фирма 1 стоит в начале, фирма 2 в конце. Каждый покупает одну штуку там, где меньше сумма: цена плюс «дорога» t·y², где y означает расстояние до магазина.
• Прямая может быть и свойством товара, например вкусом пива: от Guinness до воды Poland Spring. Тогда «дорога» означает недовольство неидеальным для тебя товаром.
• Модель «кандидат-избиратель». Избиратели равномерно стоят на прямой от левых к правым и голосуют за ближайшего кандидата. Новое: кандидат не может сменить позицию, а выдвинуться может любой избиратель. Побеждает набравший больше всех, ничью решает монетка. Выигрыш: $2 за победу, минус $1 за участие и минус расстояние до победителя (1/17 доллара за место).
• Игра в ряду из 17 студентов. Раунд 1: выдвинулись умеренно левый Алекс и центристка Беатрис. Победила Беатрис, и Алекс зря потратился. Раунд 2: выдвинулись две центристки. После пересчёта голосов победила Беатрис, и Клэр-Элиз лучше было не выдвигаться. Раунд 3 в другом ряду: выдвинулся один, но не в центре, и сосед ближе к центру мог выйти и победить (если Полак верно посчитал).
• Разбор. Без кандидатов равновесия нет: любой выйдет и победит. Один кандидат ровно в центре даёт равновесие. Если в каждой точке сидят двое, два кандидата в одной точке центра равновесия не дают: сосед сбоку заберёт целый фланг. Два кандидата чуть слева и чуть справа от центра дают равновесие. Новичок с краю проиграет и вдобавок отдаст победу дальнему кандидату. А если один из двоих выйдет, победит соперник.

Главные понятия

• Конкуренция Бертрана (Bertrand competition) — фирмы выбирают цены, покупатель идёт к тому, кто дешевле.
• Дифференциация товаров (product differentiation) — товары различаются, и у каждого есть свои любители.
• Линейный город (linear city) — покупатели и магазины на одной прямой, а расстояние стоит денег или удовольствия.
• Модель «кандидат-избиратель» (candidate-voter model) — выдвинуться может любой, но сменить позицию нельзя.

Зерно для создателя игр

• Одинаковые товары ведут к войне цен. На рынке игроков продавцы одинаковых вещей сбивают цену почти до нулевой прибыли. Если нужна живая торговля, делай вещи различимыми.
• Прямая как карта баланса. Расставь персонажей или оружие на оси: ближний и дальний бой, скорость и сила. Игрок берёт ближайший к своему вкусу вариант. Два варианта в одной точке делят аудиторию, а пустой участок оси подсказывает, где нужен новый.
• Главная ручка дизайнера: чем управляет игрок. Курно и Бертран описывают один рынок, но выбор количества и выбор цены дают разные игры. Сначала реши, что выбирает игрок, потом крути числа.
• Вход в игру тоже ход. Турнир или выборы с взносом и призом создают интересные решения: иногда лучше не входить. В голосованиях (выбор карты, лидера) похожий кандидат отнимает голоса у союзника. Покажи это игрокам или смени правило подсчёта.

Мини-игра для урока

«Выборы в одном ряду» (9–17 учеников, нечётное число, 10 минут). Ученики садятся в ряд, место означает взгляды от левого края до правого. Победа даёт +20 очков, выдвижение стоит 10, и ещё минус 1 за каждое место между тобой и победителем. Если не выдвинулся никто, у всех 0. На счёт «три», с закрытыми глазами, встают те, кто выдвигается. Каждый голосует за ближайшего кандидата; сидящий ровно посередине отдаёт двоим по полголоса. Ничью решает монетка. Посчитай очки и спроси, кто жалеет о решении. Сыграй 3–4 раунда. Ученик пусть заметит: одинокий кандидат в центре непобедим, а лишний кандидат часто проигрывает и играет на руку своему противнику.

Ошибки и заблуждения

• «Две фирмы почти как монополия, цены будут высокими». В модели Бертрана с одинаковым товаром цены падают до издержек.
• «Проиграть на выборах не страшно, теряешь только взнос». Лишний кандидат может отдать победу тому, кто от него дальше всех.
• «Кандидаты всегда сходятся в центр». Здесь сдвинуться нельзя, и равновесием бывают два кандидата по разные стороны от центра.

Для продвинутых

• J. Bertrand (1883) в рецензии на Курно предложил считать стратегией цену. Итог «цена равна издержкам» называют парадоксом Бертрана.
• Линейный город восходит к H. Hotelling (1929), квадратичную «дорогу» разобрали d'Aspremont, Gabszewicz, Thisse (1979).
• Для фирм на концах отрезка с «дорогой» t·y² равновесные цены равны c + t, прибыль каждой t/2. Различия товаров защищают прибыль.
• Модель «гражданин-кандидат»: Osborne, Slivinski (1996); Besley, Coate (1997).