Равновесие Нэша: расселение, сегрегация и жребий

Важность для курса: высокая — модель Шеллинга учит, что поведение толпы не равно желаниям игроков, а «камень, ножницы, бумага» открывает смешанные стратегии, основу баланса с циклами.

Суть простыми словами

Иногда все хотят жить вперемешку, но каждый боится оказаться в меньшинстве. В итоге все разбегаются по разным городам, хотя никто этого не хотел. В «камень, ножницы, бумагу» нет одного лучшего хода, поэтому лучше всего быть непредсказуемым.

Что было на лекции

• Финал «кандидат-избирателя». Два кандидата по бокам от центра дают равновесие, если стоят симметрично. Выдвинувшись, левый радикал отнимет голоса у левоцентриста и приведёт к победе правого. Полак вспомнил Нейдера в 2000 году. Кандидаты на самых краях не равновесие: в центре выйдет третий и победит. Самое широкое расхождение: от 1/6 до 5/6, тогда новичку в центре не хватит голосов.
• Урок метода «угадай и проверь»: проверяй все отклонения, включая выход из гонки, о котором часто забывают.
• Игра Шеллинга. Два города, Восточный и Западный, по 100 000 мест. Люди двух типов, «высокие» и «низкие», по 100 000. Выигрыш: 0, если вокруг одни чужие; 1/2, если все свои; 1, если город поделён ровно пополам. Каждый хочет смешанный город, но в большинстве лучше, чем в меньшинстве. Выбор одновременный, лишних распределяет жребий.
• Передние семь рядов стали «низкими», остальные «высокими». Старт был полосатым, с небольшим перекосом. После трёх раундов перед зала выбрал Восток, а зад Запад. Сегрегация.
• Студент Патрик: все, кому было чуть хуже, переехали разом и проскочили точку 50/50. Полак признал, что подтолкнул класс стартом, но думает, что и со случайного старта вышла бы сегрегация.
• Две сегрегации (студент Грег) являются строгими и устойчивыми равновесиями: переехать к чужим значит получить 0 вместо 1/2. Ровно 50/50 тоже равновесие, но слабое и неустойчивое (студент Крис): чуть сдвинешь, и все побегут.
• Точка перелома: перейди середину, и система покатится к другому краю. Такая точка была и в «Инвестициях» (90%). По словам Полака, Шеллинг получил Нобелевскую премию во многом за эту идею.
• Студент Ник отыскал ещё равновесие: все выбирают один город, и жребий делит людей почти поровну. Урок первый: техническая мелочь модели создала новое равновесие. Урок второй: жребий «сверху» тут лучше свободного выбора.
• Вывод для социологии: сегрегация повсюду ещё не доказывает, что её хотят.
• Политика: «басинг», развозка школьников по чужим районам в 1960–70-е. В Гарварде примерно до 1990 года студенты сами выбирали общежития-«дома», и те стали однородными. Потом ввели жребий, как в Йеле. Полак не оценивает такую политику.
• Жребий может бросать и каждый сам. Если все бросят монетку, города тоже выйдут почти поровну, и это тоже равновесие. Так появляется смешанная стратегия.
• «Камень, ножницы, бумага». Равновесия в чистых ходах нет: лучшие ответы идут по кругу. Полак вспомнил «Симпсонов»: Лиза знает, что Барт всегда выбирает камень. Студент Мозес предложил выбирать каждый ход с шансом 1/3. Против такого соперника любой ход в среднем даёт 0, значит, это равновесие, причём единственное.

Главные понятия

• Модель Шеллинга (Schelling's location model) — люди выбирают жильё, глядя на соседей, а итог может не совпасть с их желаниями.
• Строгое и слабое равновесие (strict vs weak equilibrium) — при отклонении ты теряешь или остаёшься при своём.
• Точка перелома (tipping point) — граница, за которой система катится к другому равновесию.
• Чистая стратегия (pure strategy) — один конкретный ход, например «камень».
• Смешанная стратегия (mixed strategy) — выбор хода по жребию с заданными шансами.

Зерно для создателя игр

• Толпа не равна желаниям. Мягкое правило для каждого NPC («не хочу быть в меньшинстве») может разделить весь город. В симуляторах тестируй систему целиком, а не одного агента.
• Следи за точками перелома. Сервер, режим или фракция могут опустеть от небольшого перекоса. Нужны стабилизаторы: бонус за непопулярную сторону, автобаланс команд.
• Жребий иногда лучше выбора. Случайные команды и стартовые позиции не дают игрокам сбиться в однородные кучки, как «дома» Гарварда.
• Цикл держит интерес. Если ходы бьют друг друга по кругу, лучшего хода нет, и выгодно быть непредсказуемым. Так устроены стартовые типы в Pokémon: огонь бьёт траву, трава воду, вода огонь.
• ИИ стоит учить смешивать. ИИ, который всегда делает одно и то же, как Барт с камнем, легко обыграть. Хороший ИИ смешивает ходы, а сильный ещё и ищет повторы у игрока, как Лиза.

Мини-игра для урока

«Два острова» (16 учеников, 10 минут). Карточки: восемь красных, восемь синих. В классе два «острова», например два угла. Старт с перекосом: на острове А 5 красных и 3 синих, на острове Б наоборот. Очки за раунд: если своих на твоём острове меньше половины, 0; ровно половина, 2; больше половины, 1. Каждый раунд все одновременно пишут, куда идут, переходят и считают очки. Три раунда. Потом учитель сам расставляет всех поровну. Ученик пусть заметит: все хотели смешанные острова с 2 очками, но разбежались по цвету и получили по 1. Распределение «сверху» вернуло всем 2.

Ошибки и заблуждения

• «Раз сегрегация везде, значит, её хотят». Модель Шеллинга показывает, что её может не хотеть никто.
• «Технические детали правил ни на что не влияют». Правило жребия при переполнении создало целое новое равновесие.
• «Бросать жребий значит играть без стратегии». В «камень, ножницы, бумага» смесь по 1/3 и есть лучшая защита: её нельзя подловить.

Для продвинутых

• T. Schelling, «Dynamic Models of Segregation» (1971) и книга «Micromotives and Macrobehavior» (1978). Нобелевская премия по экономике 2005 года, вместе с Р. Ауманом.
• В смешанном равновесии все используемые ходы дают игроку одинаковый ожидаемый выигрыш. К этому принципу курс вернётся в лекциях 9–10.
• Решение «камня, ножниц, бумаги» следует и из теоремы фон Неймана о минимаксе для игр с нулевой суммой (1928), и из теоремы Нэша (1950).