Лучшие ответы: пенальти и деловое партнёрство

Важность для курса: высокая — вопрос «есть ли ситуация, где этот выбор лучший?» находит мёртвые варианты в балансе, а игра о партнёрстве объясняет, почему в кооперативе с общей наградой все недорабатывают.

Суть простыми словами

Хороший ход зависит от того, что, по-твоему, сделает соперник. Но бывают ходы, которые не лучшие никогда, что бы ты ни думал. Их можно смело выбросить. А если двое делят награду пополам, каждый старается меньше нужного: устаёт он сам, а пользу делит на двоих.

Что было на лекции

• Пенальти. Полак в шутку назвал его самой важной игрой в мире. Бьющий бьёт влево, в центр или вправо. Вратарь прыгает влево или вправо. Прикидка Полака: гол в 40% случаев, если вратарь угадал угол, в 90%, если не угадал, и в 60% при ударе в центр. Вратарь получает те же числа с минусом.
• Доминируемых ходов нет, старое вычёркивание бессильно.
• Опрос «в какой угол бить?»: голоса разделились почти поровну.
• График выигрыша от веры, что вратарь прыгнет вправо. Шанс меньше половины: бей вправо. Больше половины: бей влево. Центр не лучший ни при какой вере. Даже при 50 на 50 угол даёт в среднем 65%, а центр 60%. Урок: не бей в центр.
• На тех выходных игрок «Портсмута» пробил пенальти «Ливерпулю» в центр, и вратарь отбил.
• Чего не хватает модели (ответы студентов): удобная нога, вратарь может остаться в центре, сила удара. Реальные данные из статьи Кьяппори и соавторов: 63,6; 94,4; 89,3 и 43,7%. В «удобную» сторону забивают чаще. У сильного, но неточного игрока углы чаще летят мимо, центр становится опаснее, и при части вер он уже разумен.
• Игра «Партнёрство». Двое делят прибыль пополам: юристы в фирме или студенты в учебной группе. Каждый выбирает усилие s, любое число от 0 до 4. Прибыль: 4(s1+s2+b·s1·s2), где b от 0 до 1/4 отвечает за синергию. Выигрыш: половина прибыли минус квадрат своего усилия.
• Лучший ответ: s1 = 1+b·s2. При b = 1/4 он лежит между 1 и 2. Полак вычёркивает усилия, которые никогда не бывают лучшим ответом, и повторяет. «Коробки в коробке» сжимаются к точке пересечения: s = 1/(1−b).
• Опрос: партнёры работают больше или меньше, чем выгодно обоим? Ответ Полака: меньше. Студент Патрик объяснил: за лишний час платишь целиком, а получаешь половину пользы. Это внешний эффект, и синергия тут ни при чём. Но чем она слабее, тем меньше усилия: я сбавляю, ты знаешь это и тоже сбавляешь. Полак назвал это эффектом ножниц.
• Анонс: точку пересечения называют равновесием Нэша. Студент Аллен: никому не выгодно сдвинуться в одиночку. В игре «2/3 от среднего» равновесие: все называют 1. Сразу так не сыграли, но при повторах ответы сползали к 1.

Главные понятия

• Лучший ответ (best response) — ход, который даёт больше всего при твоей догадке о действиях других.
• Вера (belief) — твоя оценка, с какими шансами соперник сделает тот или иной ход.
• Ожидаемый выигрыш (expected payoff) — средний выигрыш с учётом этих шансов.
• Никогда не лучший ответ (never a best response) — ход, который при любой вере уступает какому-то другому ходу. Его можно выбросить, даже если он не доминируется.
• Синергия (complementarity, synergy) — вместе получается больше, чем сумма вкладов.
• Внешний эффект (externality) — твой выбор влияет на других, а ты этого не учитываешь.

Зерно для создателя игр

• Тест на мёртвый вариант. Для каждого оружия или приёма спроси: есть ли ситуация или догадка о сопернике, где он лучший? Если нет, вариант мёртв, даже если «неплох» в каждой стычке. Убери его или дай ему нишу.
• Нишу создают параметры. Центр ожил у сильного, но неточного бьющего. Так и разные персонажи делают живыми разные варианты.
• Игроки мёртвые варианты не замечают. В опросе центр выбирали примерно так же часто, как углы. Проверяй баланс табличкой и расчётом, а не только ощущением.
• Кооператив с общей наградой. Если добыча делится поровну, а усилия личные, все недорабатывают. Работают личная награда за вклад и сильная синергия.
• ИИ с верой. Вратарь-ИИ, который запоминает, куда чаще бьёт игрок, и отвечает лучшим ходом, понятен и честен.

Мини-игра для урока

«Пенальти на кубике» (двое, 10 минут). Бьющий тайно пишет Л, Ц или П, вратарь пишет Л или П. Открывают и бросают десятигранный кубик (или тянут карточку 1–10). Гол, если выпало не больше 4 при угаданном угле, 9 при неугаданном и 6 при ударе в центр. Десять ударов, смена ролей, результаты в таблицу. Потом бьёт «силач» с числами 3, 8 и 7 в том же порядке. Ученик пусть заметит: у обычного бьющего какой-то угол всегда лучше центра. А у «силача» центр лучший, если вратарь прыгает непредсказуемо.

Ошибки и заблуждения

• «Если ход ничем не доминируется, он нормальный». Ни один угол не доминирует центр, и всё же центр никогда не лучший.
• «Модель всегда права». Вывод про центр держится на числах. Поменяй силу и точность удара, и он изменится.
• «В команде недорабатывают от лени». Честные партнёры тоже работают меньше нужного: им достаётся лишь половина плодов.

Для продвинутых

• Лучший ответ на веру p максимизирует E_p[u_i(s_i, s_−i)].
• Центр строго доминируется смесью «половина влево, половина вправо»: 6,5 против 6 при любом прыжке вратаря. Лемма Пирса: в игре двух лиц ход никогда не бывает лучшим ответом тогда и только тогда, когда его строго доминирует какая-то смесь (Pearce, 1984). Повторное удаление таких ходов даёт рационализуемость (Bernheim, 1984; Pearce, 1984).
• Партнёрство: равновесие 1/(1−b), а сумму выигрышей максимизирует 2/(1−2b). При b = 1/4 это 4/3 против 4.
• Недоработка в командах: B. Holmström, «Moral Hazard in Teams» (1982).
• Пенальти в реальных данных: Chiappori, Levitt, Groseclose (AER, 2002); I. Palacios-Huerta (2003).