Совершенное в подыграх равновесие: войны на истощение

Важность для курса: средняя — позволяет понять и настроить затяжные противостояния, но относится в основном к соревновательным играм.

Суть простыми словами

Двое спорят за приз. Каждый раунд спора стоит денег обоим. Кто первым сдался, тот проиграл. Такой спор может съесть гораздо больше, чем стоит приз. И дело не только в упрямстве: даже очень расчётливые игроки иногда держатся долго.

Что было на лекции

• Правила. Двое одновременно выбирают «драться» или «сдаться». Игра идёт, пока кто-то не сдастся. Оставшийся получает $1. За каждый раунд, где дрались оба, каждый платит $0,75. Если оба сдались одновременно, никто ничего не получает.
• Оба студента из Техаса сдались в первом же раунде. Футболист против бейсболиста: первый дрался, второй сдался.
• Нью-Йорк против Нью-Джерси: оба дрались пять раундов подряд. По правилам каждый уже потерял $3,75 ради приза в $1. Полак разрешил им поговорить. Нью-Йорк сказал, что не уступит из гордости. Нью-Джерси ответил, что будет драться и сопернику лучше сдаться. В следующем раунде оба снова дрались, и Полак остановил игру сам.
• Почему так вышло? Говорили о желании победить и о гордости. Полак добавил репутацию: оба пытались показать «я боец, уступи». Студент назвал невозвратные затраты: потраченное не вернуть, поэтому на десятом раунде игра выглядит так же, как на первом.
• Примеры из жизни. Западный фронт Первой мировой: годы боёв за маленькие клочки Франции и Бельгии. Борьба Sky и British Satellite Broadcasting за спутниковое ТВ в Европе: нулевые цены, бесплатные спутниковые тарелки, потери больше всей будущей прибыли. Выдуманный пример: французская и британская фирмы дают взятки генералу страны Фридонии ради контракта на мост. Такие торги называют аукционом, где платят все.
• Цель анализа: показать, что долгий бой возможен даже у рациональных игроков, без гордости и репутации.
• Версия на два раунда. Если оба знают, кто победит завтра, проигравший сдастся уже сегодня. Поэтому в «чистых» равновесиях один всегда дерётся, а другой всегда сдаётся, и боя нет вовсе.
• Бой появляется в смешанном равновесии. Каждый дерётся с вероятностью V/(V+C), где V означает приз, а C цену раунда. Ожидаемый выигрыш каждого равен нулю.
• Бесконечная версия решается так же. Прошлые траты не важны, будущее даёт ноль, поэтому каждый раунд похож на первый. Итог: сколь угодно долгая война возможна, но чем она длиннее, тем реже. Бои чаще, когда приз больше, и реже, когда раунд дороже.

Главные понятия

• Война на истощение (war of attrition) — спор, где каждый раунд стоит обоим, а приз достаётся тому, кто продержится дольше.
• Невозвратные затраты (sunk costs) — уже потраченное, которое нельзя вернуть. На решение о будущем оно влиять не должно.
• Выигрыш продолжения (continuation payoff) — сколько игрок получит в оставшейся игре. Его подставляют в текущий раунд вместо всего будущего.
• Смешанная стратегия (mixed strategy) — выбор хода с заданной вероятностью, как бросок кубика.
• Аукцион, где платят все (all-pay auction) — торги, в которых ставку теряет каждый, а приз получает один.

Зерно для создателя игр

• Две ручки настройки. Вероятность боя растёт с призом и падает с ценой раунда. Хочешь меньше затяжных «стоялок»: сделай ожидание дороже или приз меньше. Хочешь драмы: подними ставку.
• Нужен выход из тупика. Если держаться можно бесконечно, добавь таймер, внезапную смерть, сужающуюся зону или растущую цену ожидания.
• Гордость входит в выигрыш. Имена на экране, рейтинг и зрители делают победу дороже приза, и игроки тратят больше, чем приз стоит. Это источник азарта. Но не строй на механике «платят все» платные покупки: так из игроков выкачивают деньги.
• Дай достойно сдаться. Кнопка капитуляции или частичный возврат позволяют выйти из боя, который держится только на невозвратных затратах.
• Ясность сокращает бой. Если видно, кто сильнее и у кого больше запас, слабый уступает раньше. Скрытые запасы затягивают войну.
• ИИ-соперник. Вечно упрямого бота легко пересидеть или обмануть. Бот, который дерётся со случайной, но правильно подобранной вероятностью, ведёт себя живее.

Мини-игра для урока

«Бой за приз». Все играют парами, 10 минут. У каждого 12 жетонов и две карточки: «Драться» и «Сдаться». Приз из банка 4 жетона, раунд общего боя стоит каждому 3 жетона. Это та же пропорция, что у Полака. Карточки открывают одновременно. Кто остался без жетонов, сдаётся. Запиши на доске число раундов и траты нескольких пар. Потом вариант «приз 8, цена 1» и вариант, где перед ходом можно поговорить. Что заметить: после двух раундов боя приз уже не окупает трат, но многие продолжают. Чем больше приз по сравнению с ценой, тем дольше бои. Слова «я не сдамся» редко заставляют соперника уйти.

Ошибки и заблуждения

• «Долгий бой значит, что кто-то глупый». Даже рациональные игроки могут драться долго.
• «Я уже столько вложил, бросать нельзя». Это ловушка невозвратных затрат.
• «За маленький приз долго не дерутся». Гордость и репутация могут перевесить.
• «В стоялках виноваты игроки». Часто их создают сами правила.

Для продвинутых

• Модель войны на истощение предложил биолог Джон Мейнард Смит (1974) для конфликтов животных. Она родственна игре «Ястреб и голубь».
• Близкий парадокс: «долларовый аукцион» Мартина Шубика (1971), где торг за доллар уходит выше доллара.
• Подставим числа из аудитории (расчёт не из лекции): V = 1, C = 0,75. Тогда каждый дерётся с вероятностью 4/7, оба дерутся в одном раунде примерно в трети случаев, пять раундов подряд примерно в 0,4% случаев. Так что бой Нью-Йорка и Нью-Джерси, скорее всего, держался не только на расчёте.
• В смешанном равновесии средний выигрыш каждого равен нулю: весь приз в среднем сгорает в драке.
• Случай, когда цена раунда больше приза, Полак оставил на домашнее задание.
• Психологию невозвратных затрат изучали Аркес и Блумер (1985).