Совершенное в подыграх равновесие: сваха и стратегические инвестиции

Важность для курса: высокая — лекция учит главному правилу баланса: когда меняешь правила, игроки меняют поведение.

Суть простыми словами

Большую игру можно разрезать на маленькие игры внутри неё. Решать их надо с конца: сначала понять, что будет потом, и только тогда делать первый ход. И помни: другие игроки не стоят на месте. Сделал ход ты, ответят и они.

Что было на лекции

• Игра «Не облажайся». Аудиторию поделили пополам. Игрок 1 может сразу выйти (2 очка себе, 1 партнёру) или пойти дальше. Тогда игрок 2 может выйти (1 и 2) или продолжить. В конце игрок 1 выбирает между исходами «4 и 3» и «3 и 1». Большинство первых игроков пошли дальше, из вторых вышел только один, в конце все выбрали 4. Но часть первых игроков вышла сразу. Полак предположил, что они боялись ошибки партнёра, и некоторые закивали.
• Разбор: в игре три равновесия Нэша, но проверку каждой подыгры проходит только одно. Оно совпадает с ответом обратной индукции. Помогло то, что стратегия говорит, как ходить даже там, куда игра не дойдёт.
• Игра «Сваха». Дэвид и Нина весь семестр «не могли встретиться» в примерах Полака. Ассистент Джейк выступил свахой и решал, оплатить ли им свидание на большом курсе. Дэвид предпочитал курс «Холодная война», Нина курс «Китай». Если они встретятся, Джейк получит +1, если разминутся, −1. В аудитории Джейк рискнул и отправил их. Дэвид уступил и выбрал «Китай», Нина тоже. Свидание удалось.
• Разбор: у пары три равновесия. В двух они точно встречаются, и свахе выгодно их отправить. В третьем каждый идёт на свой любимый курс в 2 случаях из 3. Тогда встреча случается с вероятностью 4/9, а Джейк в среднем получает −1/9. При таком ожидании лучше никого не отправлять.
• Кейс про удобрения. Две фирмы конкурируют объёмами. Каждая выпускает миллион тонн по цене около $1,33, прибыль $1/3 млн в год. Фирме A предлагают в аренду машину, которая снижает её затраты с $1 до $0,5 за тонну. Аренда стоит $0,7 млн в год. Аудитория разделилась примерно поровну, студенты MBA были за аренду.
• Три ответа. Бухгалтер: экономия $0,5 млн меньше $0,7 млн, не брать. Экономист: фирма A станет выпускать больше, это ещё $0,19 млн, итого $0,69 млн, всё равно не брать. Теория игр: фирма B ответит и сократит выпуск. Это добавит $0,31 млн, итого $1 млн, значит, брать.
• Та же ошибка грозит налоговой реформе и новой учебной программе Йеля: люди подстроятся под новые правила.

Главные понятия

• Подыгра (subgame) — часть игры, которую можно сыграть как отдельную игру: игрок точно знает, где он, и всё дальнейшее входит в неё.
• Совершенное в подыграх равновесие (subgame perfect equilibrium, SPE) — набор планов, который в каждой подыгре даёт равновесие Нэша.
• Откат выигрышей (rolling back) — решаем последнюю подыгру, подставляем её результат как выигрыш и делаем шаг назад.
• Стратегия как полный план (strategy) — указание на любой случай, даже на тот, что не наступит.
• Стратегический эффект (strategic effect) — изменение твоего выигрыша из-за того, что другие ответили на твой ход.
• Стратегические субституты (strategic substitutes) — чем больше делает один, тем меньше выгодно делать другому.

Зерно для создателя игр

• Патч баланса тоже ход в игре. Не считай как бухгалтер: «урон +10%, значит, сила +10%». Спроси, как ответят игроки. Усиленное оружие меняет выбор соперников, и итог бывает совсем другим.
• Ранний выбор оценивают по тому, что будет потом. Ценность класса, постройки или улучшения зависит от ответа соперника.
• Доверие в кооперативе хрупкое. Если ошибка партнёра стоит дорого, игроки уходят в безопасный вариант, хотя вместе могли бы больше. Снижай цену чужой ошибки и дай способ показать намерение.
• Дизайнер похож на сваху. Ставишь игроков в ситуацию «надо встретиться»? Дай им ориентир: метку на карте, сигнал, очевидное место. Без него они действуют наугад и часто разминаются.
• ИИ нужен план на все ветки. То, что ИИ сделал бы в конце, решает, стоит ли игроку вообще начинать.

Мини-игра для урока

«Не облажайся» с дрожащей рукой. Пары, 10 минут. Нарисуй дерево из лекции, выигрыши в очках. Раунд 1: играют как есть, ходы пишут на карточках. Раунд 2: перед последним ходом игрок 1 бросает кубик, и на 1–2 его ход сам становится «3 и 1». Раунд 3: такая ошибка случается на 1–4. Отмечай на доске, кто вышел сразу. Что заметить: пока ошибок мало, доверять выгодно, и оба получают больше. Когда ошибок много, страх перед концом игры переходит в начало, и все выходят сразу.

Ошибки и заблуждения

• «Посчитаю в таблице, сколько даст изменение». Это ошибка бухгалтера: другие игроки тоже изменят поведение.
• «Ветки, до которых не дошло, не важны». Именно они решают, пойдёт ли туда соперник.
• «Неважно, какое равновесие сложится в подыгре». От ожидаемого равновесия зависит, стоит ли вообще начинать.

Для продвинутых

• Совершенное в подыграх равновесие ввёл Райнхард Зельтен (1965). В 1994 году он получил Нобелевскую премию вместе с Нэшем и Харсаньи.
• Страх чужой ошибки формализует «равновесие дрожащей руки» (Зельтен, 1975). Расчёт для игры «Не облажайся» (не из лекции): игроку 2 выгодно продолжать, если игрок 1 ошибается в конце реже чем в половине случаев. Игроку 1 выгодно идти дальше, если игрок 2 выходит реже чем в 2 случаях из 3. Поэтому в мини-игре ошибка на 1–2 терпима, а на 1–4 уже нет.
• Проверка кейса: при затратах $0,5 и $1 новое равновесие Курно даёт фирме A 2 млн тонн, фирме B 0,5 млн, а прибыль A растёт с $1/3 млн до $4/3 млн.
• Термины «стратегические субституты и комплементы» ввели Булоу, Джинакоплос и Клемперер (1985).
• В макроэкономике похожая мысль известна как критика Лукаса (1976).