Лекция 10. Смешанные стратегии в бейсболе, на свиданиях и в налогах

Важность для курса: высокая — лекция учит правильно читать статистику баланса и показывает, почему строгое наказание меняет поведение не того игрока, на которого рассчитывали.

Суть простыми словами

Когда игроки хитрят друг с другом, все ходы, которые они используют, приносят в среднем одинаково. Это не значит, что ход бесполезен: его сила видна в том, как ведёт себя соперник. А если сделать штраф для хитреца строже, хитрецов может не стать меньше. Просто проверяющий начнёт реже проверять.

Что было на лекции

Проверка теннисного равновесия. Против Серены, которая смещается влево в 60% случаев, оба удара Винус выигрывают 62% очков. Студент заметил, что и любая их смесь даёт 62%. Значит, выгодное отклонение достаточно искать среди чистых ходов.
Спорт. Студенты назвали американский футбол (пас или вынос) и бейсбол (тип подачи). Питчер университетской команды Крис рассказал, как бегун решает, красть ли базу, и как питчер ему мешает.
Ошибка аналитиков: раз попытка украсть базу в среднем даёт столько же, сколько отказ, скорость переоценена. Но при смешивании равенство обязано быть. Польза быстрого бегуна видна в другом: питчер меняет подачи, и у следующего отбивающего растёт результат.
После 11 сентября не хватало машин для досмотра багажа. Эксперты говорили: поставишь их в Бостоне, террористы пойдут в Чикаго. Ответ: проверять случайно или поставить одинаковые ящики везде и не говорить, где настоящие сканеры.
Людям трудно изображать случайность. Английский командир после Второй мировой выбирал охраняемую колонну так: сержант угадывал, в какой руке бумажка.
Новое свидание Нины и Давида: сбор яблок или спектакль. Нина больше хочет на яблоки, Давид в театр, оба хотят встретиться. Пара призналась, что так ни разу и не встретилась. Смешанное равновесие: Нина идёт на яблоки с шансом 2/3, Давид с шансом 1/3. Каждый получает лишь 2/3, встреча случается в 4/9 случаев.
Налоги, в зале сидели родители студентов. Честный получает 0, хитрец +4 без проверки и −10, если попался. Проверять честного налоговику невыгодно. Равновесие: честны 2/3 людей, проверяют 2/7 деклараций. Налоговик бросает жребий буквально, а 2/3 это доля честных в стране.
Штраф подняли до −20. Аудитория голосовала, родители воздержались. Ответ: честных по-прежнему 2/3, проверок стало 1/6. Если растёт выгода от обмана, растёт частота проверок, поэтому богатых проверяют чаще.
Чтобы честных стало больше, надо менять выигрыши налоговика. Можно задать частоту проверок законом, но студентка заметила, что конгрессмены сами богаты.

Главные понятия

Выгодное отклонение (profitable deviation) — ход, который принёс бы игроку строго больше. Если ни один чистый ход не выгоден, смешанный тоже не будет.
Буквальная случайность (literal randomization) — игрок по-настоящему бросает жребий, как налоговик или командир с бумажкой.
Смесь как убеждение (belief) — смесь Давида описывает догадку Нины о нём. Сам Давид монетку может и не бросать.
Смесь как доли в обществе (population proportions) — каждый выбирает своё, а доли видны по всей стране.
Провал координации (coordination failure) — все хотят встретиться, но без связи часто промахиваются.

Зерно для создателя игр

Не суди способность по средней статистике. Если игроки смешивают ходы, результаты ходов почти равны, и это не признак бесполезности. Ценность умения часто видна в поведении соперника. Прежде чем ослабить способность, посмотри, как без неё сыграют противники.
Наказание меняет того, кто проверяет. Если в игре про контрабандистов за стражу тоже играет человек, строгий штраф в равновесии не уменьшит долю обманщиков. Стража просто станет реже проверять. Хочешь меньше обмана, награждай за поимку или удешеви проверку.
ИИ нужно честно рандомизировать. Люди плохо изображают случайность, а игроки быстро находят шаблоны. Охранник с одним маршрутом делает стелс простым. Смешивай маршруты в нужных долях.
Дай игрокам связь. Двое, которые хотят встретиться, но предпочитают разные места, без связи встречаются меньше чем в половине случаев. Метки, пинги и быстрые фразы решают эту задачу.
Мета как смесь. В онлайн-игре доли игроков по тактикам устанавливаются там, где тактики приносят примерно поровну. Сравнивай с метой и те варианты, что никто не берёт.

Мини-игра для урока

«Контролёр и зайцы», пересказ налоговой игры. Пары «пассажир и контролёр», 10 минут.

Оба тайно выбирают. Пассажир: «билет» или «заяц». Контролёр: «проверяю» или «нет».
Очки пассажира: билет 0; заяц без проверки +4; пойманный заяц −10.
Очки контролёра: проверил честного 2; не проверял честного 4; поймал зайца 4; пропустил зайца 0.
Десять раундов. Класс считает долю зайцев и долю проверок.
«Мэр» удваивает штраф до −20. Перед новыми десятью раундами класс голосует: зайцев станет меньше?

Что заметить: по теории зайцев остаётся 1/3, а проверок становится меньше. Цифры за 10 раундов шумные, поэтому для сайта лучше симуляция города с ползунками «штраф» и «премия контролёру»: штраф меняет число проверок, премия меняет число зайцев.

Ошибки и заблуждения

«Попытка и отказ дают одинаково, значит, умение не важно». Это ошибка бейсбольных аналитиков.
«Защита бесполезна, враг просто пойдёт туда, где её нет». Спасают случайность и скрытность.
«Строже наказание, меньше нарушений». В равновесии меняется частота проверок, а не честность.
«Винус специально делает Серену безразличной». Полак подчеркнул: это не цель игрока, а свойство равновесия.

Для продвинутых

Выигрыш смеси есть среднее выигрышей чистых ходов, поэтому проверять нужно только чистые отклонения. Но все, а не только те, что входят в смесь.
Смесь игрока по столбцам задают выигрыши игрока по строкам, и наоборот. Налоги: 2q + 4(1−q) = 4q, q = 2/3; 0 = −10p + 4(1−p), p = 2/7; при штрафе 20 p = 1/6.
Толкование смеси через убеждения обосновал Харшаньи (1973, «очищение» смешанных равновесий). Толкование через доли в популяции было ещё в диссертации Нэша (1950).
Такие модели называют играми инспекции (inspection games). Похожий вывод о штрафах и преступности: G. Tsebelis, «The Abuse of Probability in Political Analysis: The Robinson Crusoe Fallacy» (1989).